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Gli Argomenti della Matematica

Tutti i settori della MATEMATICA

Quì di seguito troverai un elenco riguardante a grandi linee tutti i temi oggetto della indagine matematica, in cui cercheremo di fornire allo stesso tempo una piccola definizione, e alcune delle principali problematiche affrontate.

ARITMETICA
I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

ALGEBRA
L'algebra è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazione e quantità.
L'algebra può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'algebra elementare. Quest'ultima, insegnata nelle scuole secondarie, estende a sua volta l'aritmetica tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamati variabili e denotati con delle lettere dell'alfabeto.

Alle variabili si applicano le usuali operazioni aritmetiche di addizione, differenza, moltiplicazione e divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come le equazioni ed i polinomi e i metodi di risoluzione per trovarne le radici.

L'algebra astratta definisce e studia le strutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati assiomi. Questi insiemi estendono gli usuali insiemi numerici, quali i numeri interi o razionali, e le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto.

L'algebra lineare è l'algebra utile a studiare le equazioni lineari. Protagonista dell'algebra lineare è lo spazio vettoriale, una struttura che generalizza il piano cartesiano e permette di definire spazi di dimensione arbitraria.

GEOMETRIA
La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.
La geometria piana si occupa delle figure geometriche nel piano.

A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l'esagono, ecc..

Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la lunghezza, l'angolo e l'area. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area.

Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto, e l'area di un rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di base e altezza. La trigonometria studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.

La geometria solida studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide. I poliedri hanno vertici, spigoli e facce. Ogni spigolo ha una lunghezza, ed ogni faccia ha un'area.

In più, il poliedro ha un volume. Si parla inoltre di angoli diedrali per esprimere l'angolo formato da due facce adiacenti in uno spigolo. Molti teoremi mettono in relazione queste quantità: ad esempio il volume della piramide può essere espresso tramite l'area della figura di base e la lunghezza dell'altezza.

ANALISI
L'analisi matematica è un ramo della matematica sviluppato sulla base dei concetti del calcolo infinitesimale. In passato l'analisi matematica si occupava del complesso dei simboli e delle regole operative su tali simboli per lo studio delle proprietà di un oggetto matematico effettuando una sua scomposizione in parti fino a giungere alle parti infinitesime che lo compongono.

L'analisi matematica introduce i concetti di infinito e di limite, ed è proprio lo studio di queste problematiche che ha portato l'analisi matematica da calcolo di elemento ad indagine presente in molti ambiti scientifici.

Il concetto di insieme costituisce l'elemento fondante di quella parte della matematica che è la teoria degli insiemi. Con questo termine indichiamo ogni raggruppamento, collezione, aggregato di elementi indipendentemente dalla loro natura. Di fondamentale importanza per approcciarsi alla materia sono la conoscenza di un minimo della teoria degli insiemi, in particolare le operazioni possibili tra di essi, e la nozione di funzione.

Il concetto di funzione è fondamentale per lo studio dell'analisi matematica, senza di esso è impossibile proseguire nello studio della materia, infatti la sua proprietà fondamentale, cioè quella di essere una relazione binaria biunivoca tra due insiemi, permette lo sviluppo di tutta la materia. Poi su di essa, attraverso operazioni più avanzate (come quella di limite) vengono definite una serie di proprietà fondamentali per le applicazioni pratiche.

Il concetto di limite fondamentale in analisi è, in parole povere, un valore a cui il valore di una funzione si avvicina sempre di più (senza necessariamente raggiungerlo) man mano che l'argomento si avvicina a zero o a infinito o a qualsiasi altro numero. Per esempio il limite di 1/n per n che tende a infinito è zero. Infatti se facciamo aumentare sempre di più n, 1/n sarà sempre più vicino a zero.

Il concetto di derivata occupa un ruolo fondamentale nel calcolo infinitesimale e in tutta l'analisi matematica. Definita come limite del rapporto incrementale, la derivata quantifica il tipo di crescita di una funzione, ed ha applicazione in tutte le scienze.

Tramite la nozione di derivata si definiscono e studiano i concetti di massimo e minimo di una funzione, di concavità e convessità: la derivata è quindi uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione. Tramite una lista di regole di derivazione, è possibile calcolare la derivata di qualsiasi funzione definita combinando funzioni elementari. Il concetto di derivata si estende anche a funzioni a più variabili, tramite la nozione di derivata parziale.

L'integrale è un altro strumento fondamentale del calcolo infinitesimale. Viene utilizzato soprattutto per calcolare aree e volumi di figure curve, quali ad esempio l'ellisse o la parte del piano cartesiano delimitata da una funzione. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale risulta essenzialmente essere una operazione inversa a quella della derivata.

Si differenzia da questa però per questo motivo fondamentale: contrariamente a quanto accade per la derivata, non ci sono degli algoritmi che permettano di calcolare l'integrale di qualsiasi funzione definita a partire da funzioni elementari. Vi sono comunque numerosi metodi di integrazione, con cui risolvere buona parte degli integrali più semplici, spesso riassunti in opportune tavole.